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Université d’Aix-Marseille I Licence de mathématiques, deuxième année

Faculté des sciences, Saint Charles TD intégration 1

Feuille d’exercices numéro 1

1. Soient r ∈ ℚ et x ∉ ℚ.

(a) Montrer que r + x ∉ ℚ, et que si de plus r ≠ 0, alors rx ∉ ℚ.

(b) Montrer que pour tous nombres réels a < b, il existe des entiers p, q tels que a < p/q < b.

(c) Montrer que \sqrt{2} ∉ ℚ.

(d) En déduire qu’entre deux nombres rationnels distincts il y a toujours un nombre irrationnel

(penser au fait que ℝ est archimédien).

2. Déterminer un algorithme (utilisant des multiplications par 10, des divisions euclidiennes et la

fonction ^{<}^{<}partie entière^{>}^{>}) permettant de trouver le développement décimal d’un nombre

rationnel p/q. L’appliquer à 7/9, 29/64, 17/15.

3. Soient f, g, h des fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ. On définit

respectivement:

• le maximum de f et g, noté f ∨ g ou max{f, g}, par

max{f, g}(x) = max{f(x), g(x)}.

• Le minimum de f et g, noté f ∧ g ou min{f, g}, par

min{f, g}(x) = min{f(x), g(x)}.

• Les parties positives et négatives de f, notées f^{+} et f^{−}, par

f^{+} = f ∨ 0, f^{−} = (−f) ∨ 0.

• La médiane de f, g et h, notée méd{f, g, h}, par le fait que méd{f, g, h}(x) est celui des

trois nombres f(x), g(x), h(x) situé entre les deux autres.

(a) Sur I = [0, 2π] on pose f(x) = sin x, g(x) = cos x, et h(x) = (2π)^{−1}x. Tracer les graphes

de f, g, h ainsi que toutes les fonctions définies à partir de f, g, h ci-dessus.

(b) Montrer les égalités suivantes:

i. f ∨ g = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) et f ∧ g = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|).

ii. f^{+} = \frac{1}{2}(f + |f|) et f^{−} = \frac{1}{2}(|f| − f). iii. f = f^{+} − f^{−} et |f| = f^{+} + f^{−}. iv. méd{f, g, h} = max{min{f, g}, min{g, h}, min{h, f}}. v. Une égalité similaire à la précédente mais commençant par

un min.

vi. min{a, b, c} = min{min{a, b}, c}.

4. Soient f et g deux fonctions numériques définies sur ℝ^{+}. (a) Écrire et expliquer la définition de lim_{x→+∞} f(x) = ℓ, ℓ ∈ ℝ.

(b) On suppose ici que

g > 0 et lim_{x→+∞} \frac{f(x)}{g(x)} = ℓ ≠ 0.

i. Montrer que lim_{x→+∞} f(x) = 0 si, et seulement si, lim_{x→+∞} g(x) =

0.

ii. Si ℓ > 0, montrer que lim_{x→+∞} f(x) = +∞ si, et seulement si, lim_{x→+∞} g(x) = +∞.

(c) Montrer que si f est périodique et non constante, alors elle n’admet pas de limite en +∞.

(d) On suppose maintenant que f est positive et croissante, et que lim_{x→+∞} (f(x + 1) − f(x)) = 0.

Montrer que

lim_{x→+∞} \frac{f(x)}{x} = 0.

5. Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [a, b], admettant en a et b respectivement des

dérivées à droite et à gauche.

(a) Rappeler l’énoncé de la formule des accroissements finis. On notera c l’un des points de

]a, b[ donnés par celle-ci.

(b) Soit f la fonction définie sur ℝ par

f(x) = α + βx + ηe^{ζx},

où α, β sont quelconques et η, ζ non nuls.

i. Déterminer, en fonction de X, le point c donné par la formule des accroissements finis

appliquée à f sur l’intervalle [0, X].

ii. En déduire que la fonction

h(x) = \frac{1}{ζx}Log\frac{e^{ζx} − 1}{ζx}

est bornée sur ℝ.

(c) On suppose ici que g est définie et dérivable sur [a, +∞[ et que lim_{x→+∞} g(x) = g(a).

Montrer qu’il existe c ∈]a, +∞[ tel que g′(c) = 0.

(d) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction logarithme sur [n, n + 1],

montrer que la suite définie par

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.

6. Soit 0 < α ≤ 1. Montrer que pour tout t ≥ 0, on a

t^{α} ≤ αt + (1 − α),

et que l’égalité n’a lieu que pour t = 1.

7. Soient p ∈]1, +∞[ et q tel que p^{−1} + q^{−1} = 1. Montrer que pour tout A, B ∈ ℝ, on a

AB ≤ \frac{1}{p}A^{p} + \frac{1}{q}B^{q}.

8. Soit f une fonction monotone sur un intervalle compact [a, b] de ℝ.

(a) Montrer que f admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point x ∈ [a, b].

On notera ces limites respectivement f(x^{+}) et f(x^{−}).

(b) Soit a < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} < b une suite de points de ]a, b[. Montrer que l’on a

∑_{k=1}^{n} |f(x_{k}^{+}) − f(x_{k}^{−})| ≤ |f(b) − f(a)| .

(c) Montrer que pour tout entier n > 0, l’ensemble des éléments x ∈]a, b[ tels que

|f(x^{+}) − f(x^{−})| > \frac{1}{n}

est fini.

(d) En déduire que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable.